UFR Physique et Ingénierie - Campus Meinau - Comportement mécanique des matériaux sandwichs et des structures stratifiées
UFR Physique et Ingénierie - Campus Meinau - Comportement mécanique des matériaux sandwichs et des structures stratifiées
2 peaux relativement minces au propriétés mécaniques fortes collées sur une âme légère à faibles caractéristiques
La suite du cours est inspirée de chapitres du livre de J.-M. Berthelot : « Matériaux Composites, comportement mécanique et analyse des structures »
Par la suite :
Résumé sur le Comportement des poutres stratifiées ou sandwiches 1- Flexion des poutres sandwiches ou stratifiée (L>>b) sans prise en compte du cisaillement transverse
L’étude bibliographique est faîte sur des sandwiches et monolithiques (stratifiés) symétriques pour lesquels il y a absence de couplage flexion-menbrane et présence du couplage flexion-torsion.
Dans le cadre de la flexion pure (L>>b), l’équation constitutive s’écrit :
(20.1)
Ecrite sous forme inverse :
(20.3)
où les D*ij sont les éléments de la matrice inverse de 
.
La théorie des poutres fait l’hypothèse que dans le cas d’une flexion suivant l’axe x, les moments My et Mxy sont nuls. On a la courbure :
(20.6)
La théorie des poutres fait l’hypothèse supplémentaire que la flèche ne dépend que de x :
wo=wo(x)
Les courbures Ky et Kxy sont fonctions du moment Mx :
(20.8)
Ces relations montrent à priori que la flèche dépend de la variable y. Cet effet est assez important dans le cas d’éprouvettes de flexion de laboratoire, de forme plus proche d’une lame que d’une poutre. Ainsi le couplage flexion-torsion induit par les termes D*12 et D*16 dans les équations (20.8) tendent à produire un décollement partiel de la poutre sur ses supports. Toutefois le phénomène est négligeable dès l’instant où le rapport L/b est assez grand ; quant aux matériaux antisymétriques étudiés ce couplage est inexistant. Il y a cependant un couplage flexion-menbrane (B16 et B26) qui reste tout de même peu perceptible.
L’équation (20.6) devient alors :
(20.10)
Le module de flexion de la poutre s’écrit alors :
(20.11)
Le moment quadratique I de la section droite de la poutre par rapport au plan (x,y) :
(20.12)
Le moment M de flexion :
M = b* Mx (20.13)
(rappel : Mx écrit par unité de largeur)
L’équation de flexion des poutres se réduit à :
(20.14)
Par suite, on a par simplifications de la théorie des plaques, où q et Q correspondent au efforts de cisaillement.
(20.18)
(20.19)
(20.20)
On peut alors remonter aux contraintes dans chaque couche du stratifié :
(20.21)
En notant, les coefficients de rigidité Q’ij de la couche k, rapportés aux axes de la plaque. On remarque qu’il n’y a pas prise en compte de l’effet transverse ?xz :
σkxx = z akxx M/I
σkyy = z akyy M/I (20.23)
σkxy = z akxy M/I
avec : (20.26)
akxx = (Qk11 D*11 + Qk12 D*12 + Qk16 D*16) h3/12
akxx = (Qk12 D*11 + Qk22 D*12 + Qk26 D*16) h3/12
akxx = (Qk16 D*11 + Qk26 D*12 + Qk66 D*16) h3/12
Les expressions précédentes des contraintes ne sont correctes qu’à une distance assez éloignée (>h) des bords de la poutre. En toute rigueur les résultats ne sont valables que pour un rapport b/h assez élevé.
NB : Pour axx = 1 et ayy = axy = 0, on retrouve la théorie classique des poutres isotropes en matériau homogène.
La contrainte de cisaillement transverse dans les poutres se déduit d’une équation d’équilibre :
σkxz = -(Q/2I) akxx (z2 + ck) (20.27)
Les constantes ck dans chaque couche sont déterminées en annulant σxz sur les faces supérieure et inférieure, et en assurant la continuité de σxz entre chaque couche. Dans le cas d’un matériau homogène (axx=1), σxz pour z=+/-h/2, on a :
σxz = (3Q/2bh)*(1-4(z/h)2) (20.28)
La contrainte de cisaillement est maximale pour z=0 :
σxz (z=0)=τo = 3Q/(2bh) (20.29)
Pour les stratifiés le cisaillement s’écrit :
σkxz = -akxx τo (4(z/h)2+dk) (20.30)
Où dk sont des constantes à déterminer en assurant la continuité de σxz dans l’épaisseur de la poutre.
diagrammes des efforts en flexion 3 points sur poutre :
Ainsi dans le cas de la flexion 3 points, toute la poutre est en couplage flexion-cisaillement. Plus L/h est élevé, moins le cisaillement est influent.
Toujours dans le cadre d’un stratifié symétrique, on applique les équations de la théorie des poutres en flexion à la flexion 3 points.
La symétrie du problème conduit à ne considérer qu’une moitié de la poutre : Le moment de flexion s’exprime par la relation :
M=-Px/2 0< x < L/2
Où P est la charge totale exercée au milieu de la poutre. En substituant dans (20.10) :
Dans les cas d’appuis simples, les conditions aux frontières sont pour x=0 : M = wo = 0 (20.34) D’autre part, la symétrie impose pour x=L/2 : L’intégration de (20.33) associée aux conditions (20.34) et (20.35), conduit à : wo = -(PL2/(48 Ex I))*x*(3-(2x/L)2) (2O.36) La flèche wc au centre de la poutre (x=L/2) s’écrit : wc = PL3/(48 Ex I) = PL3 D*11/(48 b) (20.37) Cette relation peut-être utilisée pour déterminer soit le module de flexion de la poutre, soit le coefficient D*11, connaissant la flèche pour la charge P : Ex = PL3/(48wcI) = PL3/(4 b h3 wc) (20.38) D*11 = 48 b wc / (PL3) (20.39) Les contraintes dans la couche k s’écrivent : Ces contraintes sont maximales pour x= L/2, soit : Dans le cadre d’une poutre en matériau homogène isotrope : axx=1, la contrainte normale s’écrit :
La contrainte dans la couche k d’un stratifié peut donc s’écrire sous la forme : σkxxmax = -2 kxxmax σo*z/h (20.44) Contrairement à un matériau homogène, la contrainte maximale n’est pas, pour un stratifié, nécessairement située au niveau de la couche externe et dépend de l’empilement des couches (angles du drapage). La charge à rupture sera donc fortement influencée par l’empilement. Pour une poutre en flexion 3 points, l’effort tranchant Q=-P/2. La contrainte de cisaillement est donc donnée par la relation : σkxz = -akxx τo (4(z/h)2+dk) (20.46) avec τo =-3P/(4bh) (20.47) L’empilement des couches influence également la distribution de la contrainte de cisaillement qui n’est pas nécessairement maximale au niveau du plan médian. Whitney [7] évoque également la rigidité et la contrainte de cisaillement d’une poutre stratifiée dans le cas simple d’une flexion suivant x : où Q est l’effort tranchant. diagramme des efforts en flexion 4 points sur poutre : Ainsi dans le cadre de la flexion 4 points, la poutre présente deux zones "mécaniques", pour 0 La poutre est cette fois-ci chargée symétriquement par deux charges P/2. Par symétrie du problème on considère seulement une moitié de la poutre : M = -P*x/2 0 M = -PL/8 L/4 En reportant ces expressions dans (20.10), il vient : On sépare l’expression de la flèche dans les deux zones mécaniques : w1 = wo pour 0 w2 = wo pour L/4 Dans le cas simple des appuis simples, les conditions aux frontières pour x=0 sont : M= w1 = 0 (20.52) La pente de la déformée s’annule au centre de la poutre, soit pour x=L/2 : Il y a également continuité de la pente et de la flèche pour x=L/4 : w1=w2 et dw1/dx = dw2/dx (20.54) L’intégration des équations (20.50) et (20.51) conduit à : Ces expressions permettent de déterminer les flèche au point x= L/4 et au centre (x=L/2) : Le module de flexion de la poutre et le coefficient D*11 sont : Ex = PL3/(96wqI)= PL3/(8bh3wq) (20.59) Ex = 11PL3/(768wcI)= 11PL3/(64bh3wc) (20.60) D*11 = 96bwq/(PL3) = 768bwc/(PL3) (20.61) NB : La rigidité connue "classiquement" D11 s’écrit alors : D(11) = Ex I = PL3/(96wq) = 11PL3/(768wc) et D*11 est l’inverse de cette rigidité. Les contraintes dans la couche k s’écrivent : pour 0 pour L/4 Il est intéressant de remarquer les contraintes maximales sont dans la partie L/4 σxx = -3PL*z/(2bh3) L/4 La contrainte de traction maximale est atteinte sur la face externe inférieure (z=-h/2) pour un matériau homogène : σxxmax = 3PL/(4bh2) (20.65) La contrainte dans la couche k d’une poutre en stratifié s’écrit donc : σkxx = -2akxx σxxmax *z/h (20.66) On prend en compte l’effort tranchant : Q=-P/2 0 La contrainte de cisaillement transverse est nulle pour 0 Dans les études précédentes le cisaillement transverse a seulement été pris en compte pour le calcul des contraintes σkzz, il a été omis pour le calcul, par exemple, de la flèche. Ce qui est justifiable quand le L/h de l’éprouvette est assez élevé. D’autre part dans le cadre de la théorie classique du stratifié, n’est pris en compte que les contraintes et déformations dans le plan (x,y). Dans cette partie, l’influence du cisaillement sur la flexion des poutres est mis en évidence, toujours dans le cadre de la flexion pure, c’est à dire pour L/h grand. L’équation constitutive de la théorie du stratifié avec cisaillement transverse s’écrit : avec : Les kij correspondent aux courbures engendrées par les moments de flexion. Et les γo correspondent aux rotations engendrées par les cisaillements transverses. Les équations des moments et des résultantes en cisaillement sont découplés et peuvent être écrites sous formes inverses : Avec les hypothèses que les fonctions φx et wo sont indépendantes de y et dépendent seulement de x. φx correspond à la rotation des sections droites induite par le gauchissement, conséquence du cisaillement transverse. Les déformations εxx et γoxz sont données par On obtient : My = Mxy = 0 par suite Qy = 0 Par suite on introduit le module Ex (20.11) de la poutre et le module de cisaillement Gxz : Si la variation du moment de flexion Mx est connue, on a la relation : Les expressions des contraintes ne sont pas modifiées par la prise en compte du cisaillement transverse. Le cisaillement transverse pour la flexion 3 points implique : On introduit le coefficient de cisaillement S défini par : L’effet de la déformation en cisaillement transverse dépend donc du rapport d’élancement L/h de la poutre, et du rapport Ex/Gxz. La flèche au centre est déterminée en valeur absolue par : wc(S) est la flèche obtenue en tenant compte de l’effet de la déformation en cisaillement, alors que wc(0) est la flèche en l’absence de cisaillement transverse donnée par (20.37). Négliger le cisaillement revient à sous-estimer la flèche. Les angles de gauchissement ont pour expression dans les deux zones mécaniques (l’une en couplage flexion-cisaillement 0 La flèche au milieu de la poutre, s’écrit, en tenant compte du cisaillement transverse : Où wc(0) est la flèche "milieu" (20.58) sans prise en compte de l’effet transverse. La similitude de comportement entre les plaques sandwiches symétriques avec cisaillement transverse permet de transposer les résultats obtenus aux paragraphes précédents à la flexion des poutres sandwiches. Dans le cas de la flexion pure, l’équation constitutive des matériaux se réduit à : Il y a cependant des différences essentielles entre les résultats établis précédemment, adaptés aux poutres monolithiques, et les poutres sandwiches, au niveau de la distribution des contraintes. Berthelot considère alors pour illustrer cet aspect un sandwich symétrique constitués de deux peaux identiques dont les axes d’orthotropie sont parallèles aux axes x-y de la poutre et d’une âme dont les axes principaux 1-2 sont parallèles aux axes x-y. Les contraintes en membrane dans la couche k de la peau supérieure ou inférieure sont données par les relations suivantes : La contrainte de cisaillement transverse s’écrit : Les constantes ck sont déterminées en annulant σxz sur les faces supérieure et inférieure et en assurant sa continuité entre chaque couche. La contrainte de cisaillement dans l’âme σaxz est constante et est obtenue par continuité à l’interface peau/âme. Critiques : L’approche de Berthelot considère un cisaillement transverse dans les peaux, ce qui est souvent négligé dans la plupart des approches ; cependant elle considère que la contrainte de cisaillement est constante dans l’âme, ce qui est simplificateur par rapport à la réalité expérimentale où l’on remarque bien un gradient de cisaillement dans l’âme. Berthelot continue son analyse pour le cas de la flexion 3 points sur poutre sandwiche à peaux épaisses. Lorsque les peaux sont de faibles épaisseurs par rapport à l’âme, on considère qu’elles ne transmettent que des efforts membranaires ; plus épaisses elles transmettent également l’effet transverse. quant à l’âme elle est également sollicitée dans son plan et transversalement. Il considère ici le cas d’une âme isotrope caractérisée seulement par son module d’Young Ea et son coefficient de poisson Va, le module de cisaillement de l’âme se déduit par la relation : Ga = Ea/(2*(1+Va)) Il compare les résultats obtenus à l’aide de la théorie du stratifié avec effet transverse et la théorie des sandwiches dans le cas de la flexion 3 points : Pour le calcul de la flèche, il y a une différence de 30 % entre les deux théories. En considérant le cas simple de la flexion engendrée seulement par Mx, sont calculées les contraintes importantes σxx et σxz dans les peaux et l’âme à x=L/2. pour les contraintes longitudinales : dans les peaux : dans l’âme : avec ht=h+2h1 où h1 est l’épaisseur des peaux avec Les contraintes de cisaillement sont données par : dans les peaux : dans l’âme : Pour les contraintes longitudinales : dans les peaux : elles sont constantes dans les peaux dans l’âme : elles sont nulles Les contraintes de cisaillement sont données par : dans la peau inférieure, en tension : dans l’âme, elle est constante : On présente par les schémas suivants la répartition des contraintes σxx et σxz dans l’épaisseur du sandwich (peaux et âme) suivant les théories. En pointillé est présentée la répartition de ces mêmes contraintes pour une poutre homogène. Pour une poutre sandwiche symétrique chargée transversalement, en considérant la flèche ne dépendant que de x (rapport L/b élevé), le comportement est très proche de la théorie classique des poutres isotropes : Où Jx est la rigidité en flexion de la poutre dans la direction x : Dans le cas de stratifiés orthotropes symétriques, même antisymétriques (les couplages Bij peuvent être négligés au vu de l’épaisseur du sandwich), le module de flexion et la rigidité en flexion s’expriment par : Dans le cas où le terme D212/D22 est négligeable devant D11 : Où les (Q’ij)k correspondent à la matrice de rigidité hors-axes propres du pli. Un matériau sandwich est donc constitué d’un matériau de faible masse volumique (l’âme) sur lequel est collé deux plaques (les peaux). Pour schématiser, l’âme transmet par cisaillement les actions mécaniques d’une peau à l’autre. Les approches simplificatrices proposent une rigidité du sandwich [8] : Df = Efb(h3-c3)/(12(1-vf)) Où b est la largeur du sandwich, h=c+2t son épaisseur totale, c l’épaisseur de l’âme et t celle de chacune des peaux. Ef est le module de traction des peaux et vf son coefficient de poisson. Df, Rigidité à ne pas confondre avec un module de flexion Ex (en MPa), une rigidité D est alors équivalente à ce module Ex multiplié par l’inertie de la poutre I = b h3/12 (b largeur, h épaisseur). Considérant que les peaux ne travaillent qu’en flexion, elles ne sont soumises qu’à une contrainte en traction ou compression : σf= +/- 2M/(bt(h+c)) où M est le moment de flexion, différent suivant les zones "mécaniques" dans le cas par exemple de la flexion 4 points. L’âme ne travaille qu’en cisaillement, elle est sollicitée par la contrainte de cisaillement : τ= 2V/(b(h+c))
Ces résultats sont établis selon l’hypothèse que les que L/h est élevé et que les peaux sont assez fines. L’approche de Gay [9] est encore plus simpliste : dans les peaux : σf = +/- M/(t+c) dans l’âme : τ= V/c Allen [10] est plus fin dans son analyse, tout en considérant cependant les peaux et l’âme comme des matériaux homogènes, c’est à dire sans prendre en compte la nature stratifiée des peaux : La poutre est toujours considérée dans un cadre de flexion majoritaire par rapport au cisaillement transverse, soit pour L/h grand. L’équation constitutive en flexion est alors : M/(EI) = -1/R Où M est le moment de flexion, 1/R la courbure prise. E*I est alors la rigidité du matériau ; pour un "isotrope", E est le module d’élasticité classique et I l’inertie en flexion. Cependant pour un sandwich, il est plus judicieux de parler de "D" (équivalent au "EI"), rigidité en flexion du sandwich. D = Ef. bt3/6 + Ef. btd2/2 + Ec. bc3/12 Où Ef et Ec sont respectivement les module d’élasticité des peaux et de l’âme, d = (h+c)/2, (h l’épaisseur totale et c celle de l’âme). Dans le cas de la flexion 4 points, cette rigidité intrinsèque peut même être calculée expérimentalement : 1/D = -1/(M * R) = - 2Δ/(M*AF2) Où dans le cas d’une déflexion faible AF2 = BF2 = R2-(R-Δ2). Δ est alors la différence de flèche entre les pannes de chargement au niveau de E ou F et entre la flèche au milieu (A). les contraintes longitudinales dues à la flexion sont calculées dans les peaux mais également dans l’âme : dans les peaux : σf= M*z*Ef/D c/2 z axe ascendant avec pour origine le plan médian de la poutre dans l’âme : σc= M*z*Ec/D c/2 La contrainte de cisaillement transverse est déterminée à travers toute la poutre, elle est cependant négligée dans les peaux et s’écrit dans l’âme par : τ= (Q/D) * (Ef td/2 + Ec *(c2/4 - z2)/2) Dans le cas où l’âme est faible, Ec est négligeable, le cisaillement s’écrit : τ= (Q/D) * (Ef td/2) Et dans le cas où les peaux sont peu épaisses et souples, on peut même écrire pour l’âme τ= Q/(bd) Allen évoque alors le concept d’âme "antiplan" ou âme idéale pour laquelle les modules d’élasticité dans le plan (Ex, Ey) sont nuls, mais le module de cisaillement transverse de valeur finie. Pour les sandwiches en flexion 4 points, des normes ont été consultées. Norme : NF T 54-606 "Structures sandwiche à base de plastiques, Essai de flexion". Dans cette norme la rigidité de la poutre sandwiche et le module de cisaillement ne peuvent être déterminées qu’en combinant les résultats expérimentaux tirés des flexions 3 et 4 points. Cependant les contraintes à rupture sont déterminées, toujours suivant l’idée simple que l’âme travaille en cisaillement et les peaux en flexion : τ = P/b(h+ea) contrainte de cisaillement dans l’âme en Mpa
si la rupture a lieu dans l’âme ou à l’interface âme/peau.
P est la charge à rupture en cisaillement.
h l’épaisseur totale du sandwich, b sa largeur.
ea l’épaisseur de l’âme. σ = P2d/(4es(h+ea)b) contrainte en flexion de la peau en MPa
si la rupture a lieu dans les peaux.
P2 est la charge à rupture en flexion dans les peaux.
d distance entre appuis.
es correspond à l’épaisseur des peaux. Pour faciliter les propriétés en cisaillement, le dimensionnement conseillé est d/h=10 et pour la flexion d/h= 20. Norme : ASTM C 393-62 : "Standard Test method for Flexural Properties of Flat Sandwich Constructions". Norme reprise et détaillée par le "Military Standard : Sandwich constructions and core materials ; general test methods" (MIL-STD-401B, sept. 1967) et l’article de Feichtinger [14] : Dans cette norme la mesure des propriétés du sandwich passe par la connaissance ou l’estimation des résistances en traction pour la peau (F), en cisaillement pour l’âme (S). On se place dans des conditions de cisaillement majoritaire pour a/f<4F/S (a est la portée de la poutre et f l’épaisseur des peaux). Les contraintes sont alors déterminées de manière suivante. Dans l’âme : τ = [P/(h+c)b]k où k=1-e-B B=a(c+f)/8f(finir formule) où c épaisseur de l’âme, f celle des peaux ; G le module de cisaillement de l’âme et E le module de traction des peaux. Dans les peaux : σ = Pa/4f(h+c)b Comme dans la norme NF T 54-606, la rigidité en flexion et le module de cisaillement sont déterminés par combinaison des flexions 3 et 4 points ; cependant en considérant que l’âme ne participe pas à la flexion, la rigidité s’exprime par : D= E(h3-c3)b/12 en N.mm4 Nadia Bahlouli, ULP - IPST - IMFS
0
(20.35)
(20.40)
(20.41)
σxxmax = σo = 3 PL/2bh2 (20.43)
C- Application à la flexion 4 points
0
L/4
(20.53)
(20.55)
(20.56)
(20.57) pour x=L/4
(20.58) pour x=L/2
(20.62)
(20.63)
2- PRISE EN COMPTE DU CISAILLEMENT TRANSVERSE
(20.69)
(20.70)
(20.71)
(20.73)
(20.74)
(20.77) et (20.78)
(20.82)
(20.87)
(20.91) et (20.93)A- Application à la flexion 3 points
(20.94)
(20.101)
(20.102)
(20.104)B- Application pour la flexion 4 points
0
L/4
(20.132)3- FLEXION DES POUTRES SANDWICHES
A- Expressions générales
(20.134) et (20.135)
(20.137)
(20.141)B- Comparaisons entre la théorie des sandwiches et la théorie des plaques avec cisaillement transverse
1- Par la théorie du stratifié avec cisaillement transverse :
(20.165)
(20.169)
(20.172)
(20.173) et(20.174)2- Par la théorie du sandwich :
(20.175)
(20.177)
(20.178)4- RECAPITULATIF
(26.5)
(26.6)
(26.7) et (26.8)
(26.9) et (26.10)APPROCHE SIMPLE DU COMPORTEMENT POUTRE SANDWICHE
1- CRITIQUES
2- COMPORTEMENT "SANDWICH" SIMPLE :
où V est l’effort tranchant.
3- POUR LA FLEXION 3 et 4 POINTS SUR SANDWICHES :
